これは
「平面上の単純閉凸曲線は少なくとも4つの頂点をもつ」
というもので，たとえば小林先生の「曲線と曲面の微分幾何」にも紹介されている。
（もちろんDoCarmoの本にも）
ここで，曲率\(k\)について\(k^\prime(t)=0\)を満たす点を 頂点 とよぶ。
以下DoCarmoに書かれていたこと（p.41）：
この定理の逆問題，
「\(k:[a,b]\to \mathbb{R}\)を非負な関数で，\(a\)と\(b\)において\(k\)はその値と任意回の微分係数が一致するとする。また，\(k\)は定数か少なくとも2つの極大と2つの極小をもつとする。このとき単純閉曲線\(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^2\)で\(\alpha(t)\)における曲率が\(k(t)\)に一致するものは存在するか？」
について，Gluckは\(k\)>\(0\)のとき肯定的に解いている。
しかし\(k\geq 0\)の時はどうなのか未解決なようだ。
2007年にsurveyが出ている。
捩率が0にならない曲線\(\alpha\)の従法線ベクトル\(b=b(s)\)が与えられているとき，\(\alpha\)の曲率\(k(s)\)と捩率\(\tau(s)\)の絶対値を定めよ。
やはりdoCarmo, Differential Geomety of Curves and Surfacesの練習問題から。
p.25 14番。
\(\alpha:(a,b) \to \mathbb{R}^2\) をregular parametrizeされた平面曲線とする。
原点との距離\(|\alpha(t)|\)が\(t_0\)(\(a\)< \(t_0\)<\(b\))において最大になるとする。このとき\(\alpha\)の曲率\(k\)は\(t_0\)において\(|k(t_0)|\geq 1/|\alpha(t_0)|\)を満たすことを示せ。
表題の本の練習問題から。ちょっとおもしろかったので紹介。
p.23, 4番。
媒介変数表示された空間曲線の法線が常に固定した1点を通るならその曲線は円であることを示せ。