ここしばらく気分が優れなかったので，今日はそれを変えるべく，
フランク・ウィルチェック，物質のすべては光，早川書房，2009年
を読んでいる。
するとおもしろい記述にであった。
アインシュタインの有名な式 \(E=mc^2\) を変形して \(m=E/c^2\) とみると，
質量の起源がエネルギーにあることが見て取れる。
そしてさらにそこには光（\(c\)）が関係する！
新しい発見のためには
「式と遊ぶんですよ」（ディラック）
だそうだ。
クリフォード代数
「オフィスアワー2」の「クリフォード代数」にも書いたが，
この1か月ほどクリフォード代数のことを勉強している。
ながらく使えなかったのですが
小閑を得たので修復を試みました。
ですが，完全復旧には至っておらず，
各記事の冒頭に
「
Warning: preg_replace_callback() [function.preg-replace-callback]: Requires argument 2, ‘filter_br_tags_on_math_cb’, to be a valid callback in /home/ykonami/public_html/geometry/wp-content/plugins/mathjax-latex/mathjax-latex.php on line 236
」
という警告がでてしまっています。
それ以外は，ひとまず大丈夫そうなので，
少し読みにくいのをご勘弁願って，おきます。
小平邦彦著，「幾何のおもしろさ」
今年は小平先生生誕100年だそうです。
それを記念して，表題の本が復刻されました。
長く絶版だった名著です。
持っておられない方は，ぜひ買い求め，読まれることをお勧めします。
岩波の本はすぐに絶版になってしまいますからね。
やはり超一流の先生の書かれたものは違う！
小さな一歩
先々週手に入れたある論文（2012年に出版された）に触発されて，
ここしばらくノートを書いている。 Continue reading
4頂点定理
これは
「平面上の単純閉凸曲線は少なくとも4つの頂点をもつ」
というもので，たとえば小林先生の「曲線と曲面の微分幾何」にも紹介されている。
（もちろんDoCarmoの本にも）
ここで，曲率\(k\)について\(k^\prime(t)=0\)を満たす点を 頂点 とよぶ。
以下DoCarmoに書かれていたこと（p.41）：
この定理の逆問題，
「\(k:[a,b]\to \mathbb{R}\)を非負な関数で，\(a\)と\(b\)において\(k\)はその値と任意回の微分係数が一致するとする。また，\(k\)は定数か少なくとも2つの極大と2つの極小をもつとする。このとき単純閉曲線\(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^2\)で\(\alpha(t)\)における曲率が\(k(t)\)に一致するものは存在するか？」
について，Gluckは\(k\)>\(0\)のとき肯定的に解いている。
しかし\(k\geq 0\)の時はどうなのか未解決なようだ。
2007年にsurveyが出ている。
doCarmo 1-5 練習問題15
捩率が0にならない曲線\(\alpha\)の従法線ベクトル\(b=b(s)\)が与えられているとき，\(\alpha\)の曲率\(k(s)\)と捩率\(\tau(s)\)の絶対値を定めよ。
ちょっとおもしろかった問題
やはりdoCarmo, Differential Geomety of Curves and Surfacesの練習問題から。
p.25 14番。
\(\alpha:(a,b) \to \mathbb{R}^2\) をregular parametrizeされた平面曲線とする。
原点との距離\(|\alpha(t)|\)が\(t_0\)(\(a\)< \(t_0\)<\(b\))において最大になるとする。このとき\(\alpha\)の曲率\(k\)は\(t_0\)において\(|k(t_0)|\geq 1/|\alpha(t_0)|\)を満たすことを示せ。
DoCarmo, Differential Geomety of Curves and Surfacesの練習問題から
表題の本の練習問題から。ちょっとおもしろかったので紹介。
p.23, 4番。
媒介変数表示された空間曲線の法線が常に固定した1点を通るならその曲線は円であることを示せ。
授業で紹介した本
シラバスにも書いたが，
微分積分学，線形代数学，解析幾何学についての知識は前提とする。
よって，それらに関する本は常に参照できるようにしておくこと。
それぞれの授業で購入した教科書で十分である。
しかし忘れていることも多いだろうから，思い出す，
あるいは改めて理解を深めるためにも，見る手間を惜しまないでほしい。
微分幾何学（曲線論，曲面論）についてはまずは教科書。
基本的にはこの1冊で，古典的なテーマについては十分である。 Continue reading