捩率が0にならない曲線\(\alpha\)の従法線ベクトル\(b=b(s)\)が与えられているとき，\(\alpha\)の曲率\(k(s)\)と捩率\(\tau(s)\)の絶対値を定めよ。

やはりdoCarmo, Differential Geomety of Curves and Surfacesの練習問題から。
p.25 14番。

\(\alpha:(a,b) \to \mathbb{R}^2\) をregular parametrizeされた平面曲線とする。
原点との距離\(|\alpha(t)|\)が\(t_0\)(\(a\)< \(t_0\)<\(b\))において最大になるとする。このとき\(\alpha\)の曲率\(k\)は\(t_0\)において\(|k(t_0)|\geq 1/|\alpha(t_0)|\)を満たすことを示せ。

表題の本の練習問題から。ちょっとおもしろかったので紹介。
p.23, 4番。

媒介変数表示された空間曲線の法線が常に固定した1点を通るならその曲線は円であることを示せ。