捩率が0にならない曲線$\alpha$の従法線ベクトル$b=b(s)$が与えられているとき，$\alpha$の曲率$k(s)$と捩率$\tau(s)$の絶対値を定めよ。

やはりdoCarmo, Differential Geomety of Curves and Surfacesの練習問題から。
p.25 14番。

$\alpha:(a,b) \to \mathbb{R}^2$ をregular parametrizeされた平面曲線とする。
原点との距離$|\alpha(t)|$が$t_0$($a$< $t_0$<$b$)において最大になるとする。このとき$\alpha$の曲率$k$は$t_0$において$|k(t_0)|\geq 1/|\alpha(t_0)|$を満たすことを示せ。

表題の本の練習問題から。ちょっとおもしろかったので紹介。
p.23, 4番。

媒介変数表示された空間曲線の法線が常に固定した1点を通るならその曲線は円であることを示せ。