定理29
AO，BO，COを三角形ABCの内角の二等分線とし，\(a,b,c\)を与えられた点Mのこれらの直線に関する対称点とする。このとき直線A\(a\), B\(b\), C\(c\)は三角形ABCの各辺における点Mの射影A\({}^\prime\), B\({}^\prime\), C\({}^\prime\) を通る円の中心Iに関して点Mの対称点M\({}^\prime\)において交わる。

定理28
点Mから三角形ABCの三辺BC，CA，ABに下ろした垂線の足をそれぞれA\({}^\prime\), B\({}^\prime\), C\({}^\prime\) とするとき，頂点A，B，Cから辺B\({}^\prime\)C\({}^\prime\), C\({}^\prime\)A\({}^\prime\), A\({}^\prime\)B\({}^\prime\) におろした垂線は三角形A\({}^\prime\)B\({}^\prime\)C\({}^\prime\)の外接円の中心に関して点Mの対称な点M\({}^\prime\) において交わる。

定理27
五角形ABCDEの各辺およびこれらと隣り合う各辺の延長とによって作られた三角形に外接する円を描くと，これらの円の5つの交点は同一の円周上にある。

定理26
円に内接する四角形ABCDについて，三角形ABC，ABD，ACD，BCDに内接する円の中心M，N，P，Qは長方形の頂点である。

定理25
円Oの外部の点Aをとり，点AにおいてOAに垂直な直線 \(l\) を引く。点Aから円Oに割線ADEを引き，交点D，Eから円Oの接線を引き直線 \(l\) との交点をそれぞれB，Cとすると線分ABと線分ACの長さは等しい。

定理24
円の中心から弧ADBの弦ABに等しく半径OAにに垂直なOCを引き，点Cを中心として円の半径に等しい円を描いたとき元の円との交点はこの弧を二等分する。

定理23
三角形において，内接円の半径と外接円の半径の和は各辺から外接円の中心に至る距離の和に等しい。

定理22
三角形において，傍接円の半径の和は内接円の半径と外接円の半径の4倍との和に等しい。

定理21
I, I\({}^\prime\), I\({}^{\prime\prime}\), I\({}^{\prime\prime\prime}\)を三角形ABCの内接円および傍接円の中心とすれば，

1. II\({}^\prime\)あるいはI\({}^{\prime\prime}\)I\({}^{\prime\prime\prime}\)を直径として描いた円は頂点B，Cを通る。
2. II\({}^{\prime\prime}\)あるいはI\({}^{\prime}\)I\({}^{\prime\prime\prime}\)を直径として描いた円は頂点C，Aを通る。
3. II\({}^{\prime\prime\prime}\)あるいはI\({}^{\prime}\)I\({}^{\prime\prime}\)を直径として描いた円は頂点A，Bを通る。
4. これらの円のすべては外接円周上に中心をもつ。
5. 弦A\({}^\prime\)B\({}^\prime\), B\({}^\prime\)C\({}^\prime\), C\({}^\prime\)A\({}^\prime\)はそれぞれ直線CI，AI，BIの中点における垂線である。

注意：解答の図を見ると，I\({}^\prime\)はAの，I\({}^{\prime\prime}\)はBの，I\({}^{\prime\prime\prime}\)はCの向かい側にある傍接円の中心である。
また三角形ABCの外接円とAI\({}^{\prime}\)の交点をA\({}^\prime\)などとしている。

定理20

1. 三角形の各辺上に，その内接円及び傍接円によって定められた線分は，それぞれその三角形の周囲の半分から各辺の長さを引いたものに等しい。
2. 3つの線分の長さの和は周囲の半分に等しい。