定理27
五角形ABCDEの各辺およびこれらと隣り合う各辺の延長とによって作られた三角形に外接する円を描くと，これらの円の5つの交点は同一の円周上にある。

定理26
円に内接する四角形ABCDについて，三角形ABC，ABD，ACD，BCDに内接する円の中心M，N，P，Qは長方形の頂点である。

定理25
円Oの外部の点Aをとり，点AにおいてOAに垂直な直線 \(l\) を引く。点Aから円Oに割線ADEを引き，交点D，Eから円Oの接線を引き直線 \(l\) との交点をそれぞれB，Cとすると線分ABと線分ACの長さは等しい。

定理24
円の中心から弧ADBの弦ABに等しく半径OAにに垂直なOCを引き，点Cを中心として円の半径に等しい円を描いたとき元の円との交点はこの弧を二等分する。

定理23
三角形において，内接円の半径と外接円の半径の和は各辺から外接円の中心に至る距離の和に等しい。

定理22
三角形において，傍接円の半径の和は内接円の半径と外接円の半径の4倍との和に等しい。

定理21
I, I\({}^\prime\), I\({}^{\prime\prime}\), I\({}^{\prime\prime\prime}\)を三角形ABCの内接円および傍接円の中心とすれば，

1. II\({}^\prime\)あるいはI\({}^{\prime\prime}\)I\({}^{\prime\prime\prime}\)を直径として描いた円は頂点B，Cを通る。
2. II\({}^{\prime\prime}\)あるいはI\({}^{\prime}\)I\({}^{\prime\prime\prime}\)を直径として描いた円は頂点C，Aを通る。
3. II\({}^{\prime\prime\prime}\)あるいはI\({}^{\prime}\)I\({}^{\prime\prime}\)を直径として描いた円は頂点A，Bを通る。
4. これらの円のすべては外接円周上に中心をもつ。
5. 弦A\({}^\prime\)B\({}^\prime\), B\({}^\prime\)C\({}^\prime\), C\({}^\prime\)A\({}^\prime\)はそれぞれ直線CI，AI，BIの中点における垂線である。

注意：解答の図を見ると，I\({}^\prime\)はAの，I\({}^{\prime\prime}\)はBの，I\({}^{\prime\prime\prime}\)はCの向かい側にある傍接円の中心である。
また三角形ABCの外接円とAI\({}^{\prime}\)の交点をA\({}^\prime\)などとしている。

定理20

1. 三角形の各辺上に，その内接円及び傍接円によって定められた線分は，それぞれその三角形の周囲の半分から各辺の長さを引いたものに等しい。
2. 3つの線分の長さの和は周囲の半分に等しい。

定理19
角Oに内接する円Iに内部，あるいは外部の接線を引けば，

1. 内部の接線ABは，同じ円を有する三角形を定める。
2. 外部の接線CDは，三角形の周の半分から辺CDを引いた残りが一定であるような三角形を定める。
3. 内部，あるいは外部の接線の両端を中心と結べば，いずれも一定な角を作る。
4. 外部の接線が中心における書くと内部の接線が中心における角とは，互いに補角をなす。

定理18
2つの円O，O\({}^\prime\)の交点Aから2つの弦CD，EFを引けば，これらの弦の端を結ぶ直線CE，DFは互いに一定の角をなす。