これは
「平面上の単純閉凸曲線は少なくとも4つの頂点をもつ」
というもので，たとえば小林先生の「曲線と曲面の微分幾何」にも紹介されている。
（もちろんDoCarmoの本にも）

ここで，曲率$k$について$k^\prime(t)=0$を満たす点を 頂点 とよぶ。

以下DoCarmoに書かれていたこと（p.41）：
この定理の逆問題，
「$k:[a,b]\to \mathbb{R}$を非負な関数で，$a$と$b$において$k$はその値と任意回の微分係数が一致するとする。また，$k$は定数か少なくとも2つの極大と2つの極小をもつとする。このとき単純閉曲線$\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^2$で$\alpha(t)$における曲率が$k(t)$に一致するものは存在するか？」
について，Gluckは$k$>$0$のとき肯定的に解いている。

しかし$k\geq 0$の時はどうなのか未解決なようだ。

2007年にsurveyが出ている。