定理22
三角形において，傍接円の半径の和は内接円の半径と外接円の半径の4倍との和に等しい。

定理21
I, I\({}^\prime\), I\({}^{\prime\prime}\), I\({}^{\prime\prime\prime}\)を三角形ABCの内接円および傍接円の中心とすれば，

1. II\({}^\prime\)あるいはI\({}^{\prime\prime}\)I\({}^{\prime\prime\prime}\)を直径として描いた円は頂点B，Cを通る。
2. II\({}^{\prime\prime}\)あるいはI\({}^{\prime}\)I\({}^{\prime\prime\prime}\)を直径として描いた円は頂点C，Aを通る。
3. II\({}^{\prime\prime\prime}\)あるいはI\({}^{\prime}\)I\({}^{\prime\prime}\)を直径として描いた円は頂点A，Bを通る。
4. これらの円のすべては外接円周上に中心をもつ。
5. 弦A\({}^\prime\)B\({}^\prime\), B\({}^\prime\)C\({}^\prime\), C\({}^\prime\)A\({}^\prime\)はそれぞれ直線CI，AI，BIの中点における垂線である。

注意：解答の図を見ると，I\({}^\prime\)はAの，I\({}^{\prime\prime}\)はBの，I\({}^{\prime\prime\prime}\)はCの向かい側にある傍接円の中心である。
また三角形ABCの外接円とAI\({}^{\prime}\)の交点をA\({}^\prime\)などとしている。

定理20

1. 三角形の各辺上に，その内接円及び傍接円によって定められた線分は，それぞれその三角形の周囲の半分から各辺の長さを引いたものに等しい。
2. 3つの線分の長さの和は周囲の半分に等しい。

定理19
角Oに内接する円Iに内部，あるいは外部の接線を引けば，

1. 内部の接線ABは，同じ円を有する三角形を定める。
2. 外部の接線CDは，三角形の周の半分から辺CDを引いた残りが一定であるような三角形を定める。
3. 内部，あるいは外部の接線の両端を中心と結べば，いずれも一定な角を作る。
4. 外部の接線が中心における書くと内部の接線が中心における角とは，互いに補角をなす。

定理18
2つの円O，O\({}^\prime\)の交点Aから2つの弦CD，EFを引けば，これらの弦の端を結ぶ直線CE，DFは互いに一定の角をなす。

定理17
2つの円の接点Oから2つの弦AD，BC，を引けば，これらの弦の端を結ぶ直線AB，CDは互いに平行である。

定理16
円周Oの上にある点Mから直線MA，MB，MCを引き，これらの直線を直径として3つの円周を描けば，これらの円周の2つずつの交点P，Q，Rは同一直線上にある。

定理15
\(n\)辺の内接多角形は対角線によって三角形に分けられる。
これらの三角形の垂心は，\(n-2\)個ずつ多角形の辺，または対角線に関して与えられた円と対称な\(\frac{n(n-1)}{2}\)個の円周の上にある。

定理14
円に内接する四角形ABCDの頂点によって定まる4つの三角形の垂心O, O\({}^\prime\), O\({}^{\prime\prime}\), O\({}^{\prime\prime\prime}\)は，第一の四角形に等しい四角形の頂点である。

定理13
円に内接する四角形ABCDの各辺を弦とする円の新しい交点はまた円に内接する四角形A\({}^\prime\)B\({}^\prime\)C\({}^\prime\)D\({}^\prime\)を作る。