定理12
円に内接する四角形の対角線が互いに垂直であるとき，対角線の交点から一辺CDに引いた垂線MPは対辺の中点を通る。

定理11
円に内接する四角形ABCDの相対する辺によって作られた角の二等分線EP，FNは互いに垂直である。

定理10
与えられた点Mについてのシムソン線はその点と三角形ABCの垂心Hとを結ぶ直線を二等分する。

定理9
シムソン線（定理5）は三角形ABCの頂点をそれぞれBC，CA，，ABに垂直である弦MP，MQ，MR（定理4）の端点に結ぶ弦AP，BQ，CRに平行である。

定理8
4つの直線D\({}_1\)，D\({}_2\)，D\({}_3\)，D\({}_4\)を3つずつとって三角形を作り，これらの三角形に外接する円を考える。

1. 　4つの円は同一点Mで交わる。
2. 　中心O\({}_1\)，O\({}_2\)，O\({}_3\)，O\({}_4\)および点Mは同一円周上にある。

定理7
三角形ABCと1つの直線が辺BC，CA，ABとそれぞれA\({}^\prime\)，B\({}^\prime\)，C\({}^\prime\)で交わるとするとき，

1. 　三角形AB\({}^\prime\)C\({}^\prime\)，BC\({}^\prime\)A\({}^\prime\)，CA\({}^\prime\)B\({}^\prime\)に外接する円は1点で交わる。
2. 　点A\({}^\prime\)，B\({}^\prime\)，C\({}^\prime\)は与えられた三角形の各辺における点Mの射影（斜射影あるいは正射影）である。
3. 　点M，A，B，Cは同一円周上にある。

定理6
円周上の1点Mからその円に内接する三角形ABCの各辺BC，CA，ABへの斜射影A\({}^\prime\)，B\({}^\prime\)，C\({}^\prime\)は同一直線上にある。

定理5
円周上の1点Mの内接三角形ABCの辺BC，CA，ABへの射影A\({}^\prime\)，B\({}^\prime\)，C\({}^\prime\)は一直線上にある。

定理4
1つの円上の1点Mからこの円に内接する三角形ABCの各辺BC，CA，ABにそれぞれ垂直である弦MP，MQ，MRを引き，新しい弦AP，BQ，CRを作れば，これらは互いに平行である。

逆に，弦AP，BQ，CRが平行かつその端点P，Q，Rから内接する三角形ABCの辺BC，CA，ABに垂線を下ろせば，これらの3つの垂線は円周上で交わる。

定理3
2つの円O，O\({}^\prime\)が交わるとき，1つの交点をAとする。
Aを通るO，O\({}^\prime\)の弦をBAB\({}^\prime\)とし，ABの長さがAB\({}^\prime\)の2倍であるとする。

1. 　この弦および中心間の距離は円の第二の交点Mから同じ角に見られる。
2. 　三角形BMB\({}^\prime\)に外接する円は，三角形OMO\({}^\prime\)に外接する円の上にある1点を中心として持つ。
3. 　B，B\({}^\prime\)における円O，O\({}^\prime\)の接線は円BMB\({}^\prime\)の上にある点Dで交わる。
4. 　点Dにおいて2つの円O，O\({}^\prime\)を含む角BDB\({}^\prime\)はこれらの円の交角に等しい。