定理9
シムソン線(定理5)は三角形ABCの頂点をそれぞれBC,CA,,ABに垂直である弦MP,MQ,MR(定理4)の端点に結ぶ弦AP,BQ,CRに平行である。
第二編円 定理8(p.39)
定理8
4つの直線D\({}_1\),D\({}_2\),D\({}_3\),D\({}_4\)を3つずつとって三角形を作り,これらの三角形に外接する円を考える。
- 4つの円は同一点Mで交わる。
- 中心O\({}_1\),O\({}_2\),O\({}_3\),O\({}_4\)および点Mは同一円周上にある。
第二編円 定理7(p.37)
定理7
三角形ABCと1つの直線が辺BC,CA,ABとそれぞれA\({}^\prime\),B\({}^\prime\),C\({}^\prime\)で交わるとするとき,
- 三角形AB\({}^\prime\)C\({}^\prime\),BC\({}^\prime\)A\({}^\prime\),CA\({}^\prime\)B\({}^\prime\)に外接する円は1点で交わる。
- 点A\({}^\prime\),B\({}^\prime\),C\({}^\prime\)は与えられた三角形の各辺における点Mの射影(斜射影あるいは正射影)である。
- 点M,A,B,Cは同一円周上にある。
第二編円 定理6(p.37)
定理6
円周上の1点Mからその円に内接する三角形ABCの各辺BC,CA,ABへの斜射影A\({}^\prime\),B\({}^\prime\),C\({}^\prime\)は同一直線上にある。
第二編円 定理5(p.36)
定理5
円周上の1点Mの内接三角形ABCの辺BC,CA,ABへの射影A\({}^\prime\),B\({}^\prime\),C\({}^\prime\)は一直線上にある。
第二編円 定理4(p.35)
定理4
1つの円上の1点Mからこの円に内接する三角形ABCの各辺BC,CA,ABにそれぞれ垂直である弦MP,MQ,MRを引き,新しい弦AP,BQ,CRを作れば,これらは互いに平行である。
逆に,弦AP,BQ,CRが平行かつその端点P,Q,Rから内接する三角形ABCの辺BC,CA,ABに垂線を下ろせば,これらの3つの垂線は円周上で交わる。
第二編円 定理3(p.33)
定理3
2つの円O,O\({}^\prime\)が交わるとき,1つの交点をAとする。
Aを通るO,O\({}^\prime\)の弦をBAB\({}^\prime\)とし,ABの長さがAB\({}^\prime\)の2倍であるとする。
- この弦および中心間の距離は円の第二の交点Mから同じ角に見られる。
- 三角形BMB\({}^\prime\)に外接する円は,三角形OMO\({}^\prime\)に外接する円の上にある1点を中心として持つ。
- B,B\({}^\prime\)における円O,O\({}^\prime\)の接線は円BMB\({}^\prime\)の上にある点Dで交わる。
- 点Dにおいて2つの円O,O\({}^\prime\)を含む角BDB\({}^\prime\)はこれらの円の交角に等しい。
第二編円 定理2(p.31)
定理2
三角形ABCの2つの頂点と垂心Hを通る円周は三角形ABCに外接する円周に等しい。
系
任意の三角形において頂点から垂心に至る距離は大変から外接円の中心に至る距離の2倍である。
第二編円 定理1(p.30)
定理1
三角形ABCの3つの高さAM,BN,CPはこれらの直線の足を頂点とする三角形MNPの各角の二等分線である。
第一編直線 問題19(p.28)
問題19
1点より与えられた2つの直線の各々に至る距離の和が与えられた長さに等しいとき,その点の軌跡を求めよ。