ピタゴラス数,授業で紹介した本

授業中に,
三平方の定理の逆を使うことで,
3, 4, 5 の長さをもつ三角形は直角三角形になり,
それを応用してピラミッドの底面の正方形の直角を作った,
という話をした。

で,ついでにこれ以外に「整数の組で」
直角三角形を作るものはあるだろうか? 
という問いを出しておいた。

授業が終わって,一人の学生さんが私のところに来て,
彼が考えたことを話してくれた。

式を全部書いてくれなかったが,
概ね彼の話は正しいことがわかった。
それによると,
「上の条件を満たす整数の組は無数にある」
ことがわかる。

三平方の定理を満たす3つの整数の組を「ピタゴラス数」という。

こういったことを含んだ参考文献として,

大矢真一,ピタゴラスの定理,東海書房,1952年
を挙げておこう。
図書館にはある。

ここからは昔話である。

だいぶん前になるが,
中学校に勤めていたとき,
夏休みの講習に何をやってもいい,
という方針を学年主任からもらったので,
中学1年生に(!),
ピタゴラス数を題材に授業をしたことがある。

まず 3, 4, 5 が三平方の定理を満たすことを確かめる。
もちろん中1は三平方の定理を知らないから,
関係式だけを示す。

で,他にそのような組がないか探してご覧,と促した。

もちろん 6, 8, 10 といった組は却下する。
なかなか見つからないが,
どのクラスでもそのうちにもう1つの組を見つける子が出てくる。
(それが数学が苦手な子だったりするから,授業は面白い!)
で,その2つを見比べて,3番目の組を探させる。

さすがにこの辺になるとかなり大変。
なので,どこに注目したらよさそうか,
色々とヒントを出していくと,
時間はかかるものの,3番目の組を見つけてくる。

ここまで来ればしめたもの。

3つの組に共通の性質を見つけさせ,
4番目,5番目の組を予想させ,
それが正しいことを計算で確かめさせる。

これを一般的に計算させるには
3年生でやる平方の展開公式や,
2次方程式がいるので,中1ではそこまでできない。

しかしピタゴラス数が無数にあることを納得させるのは
容易となる。

また,規則性に注目して考えをふくらませていくという,
数学ではよくやる考え方を経験してもらうのにも
いい場所となった。

ついでに「フェルマー予想」
(今では定理になったが,当時はまだ予想だった)
についてお話をして,授業を終える。

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