4頂点定理

これは
「平面上の単純閉凸曲線は少なくとも4つの頂点をもつ」
というもので,たとえば小林先生の「曲線と曲面の微分幾何」にも紹介されている。
(もちろんDoCarmoの本にも)

ここで,曲率\(k\)について\(k^\prime(t)=0\)を満たす点を 頂点 とよぶ。

以下DoCarmoに書かれていたこと(p.41):
この定理の逆問題,
「\(k:[a,b]\to \mathbb{R}\)を非負な関数で,\(a\)と\(b\)において\(k\)はその値と任意回の微分係数が一致するとする。また,\(k\)は定数か少なくとも2つの極大と2つの極小をもつとする。このとき単純閉曲線\(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^2\)で\(\alpha(t)\)における曲率が\(k(t)\)に一致するものは存在するか?」
について,Gluckは\(k\)>\(0\)のとき肯定的に解いている。

しかし\(k\geq 0\)の時はどうなのか未解決なようだ。

2007年にsurveyが出ている。

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