やはりdoCarmo, Differential Geomety of Curves and Surfacesの練習問題から。
p.25 14番。

$\alpha:(a,b) \to \mathbb{R}^2$ をregular parametrizeされた平面曲線とする。
原点との距離$|\alpha(t)|$が$t_0$($a$< $t_0$<$b$)において最大になるとする。このとき$\alpha$の曲率$k$は$t_0$において$|k(t_0)|\geq 1/|\alpha(t_0)|$を満たすことを示せ。