結局，森田先生の本の定理29.4 は fibrewise の場合はだめなようだ。
normal space という仮定と，fibrewise normal space という仮定の状況の違いからうまくいかない。
しかし系29.5 の
「paracompact Hausdorff ならば任意の開被覆は正規被覆になる」
は fibrewise の場合でも成立する。
ここに先輩の論文で証明されている定理がうまく使える。
これによって
「paracompact Hausdorff space の開被覆全体は covering uniformity の base になる」
という定理の fibrewise 版が証明できた。
まずは目標の第一段階が終了。
次は完備化だ。