ハミルトンの四元数

ハミルトンの四元数というものがある。

虚数単位\(i\)以外にさらに2つ\(j,k\)を考え,
\[
i^2=j^2=k^2=-1,\quad ij=k,\ jk=i,\ ki=j
\]
を満たすとする。さらに\(ij=-ji,\ kj=-i,\ ik=-j\)とする。
このとき\(a+bi+cj+dk\) (\(a,b,c,d\)は実数)という形の数を考え,
和は普通の多項式のように,積は上の約束を使って文字式の計算をする,と定義する。
すると
\[
\mathbb{H}=\{a+bi+cj+dk\ |\ a,b,c,d\in \mathbb{R}\}
\]
は体となるが,積については交換法則が成り立たない,つまり斜体となる。

このような形の数を「四元数」という。

面白いのは,量子力学を定式化するときに複素数が用いられたが,
同じように四元数を使っても定式化できる。
さらには力学,電磁気学,相対論も!

これはちょっと面白いし,
電磁気を四元数を用いて記述すると,ある計算から面白い項が現れるようだ。

昨年末にこれを知り,それで昨日の記事を書いたのだった。

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